2014中考必备资料之一元二次方程【上篇】个人日记

2014中考必备资料之一元二次方程【上篇】

个人日记

一元二次方程是历年中考考察的重点内容，而且它的考察形式多种多样，既能以单独的考题形式出现，又可以与不等式、几何题目等相结合进行考察，有些地区的考题甚至将一元二次方程融合到压轴题中进行考察。一元二次方程是中考备考中比较基础的知识点，也是大家容易犯错、失分的知识点，因此小张老师特地整理出了这篇文章，以求能够帮助到各位同学。希望各位童鞋认真的阅读！！！

所谓一元二次方程其基本形式就是x2+bx+c=0，而其中韦达定理又是最基本的定理，它描述了根与方程之间的本质关系，韦达定理的内容是x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a，这个定理虽然形式很简单，但是用处却非常大，翻阅历年中考试题，可以发现这个定理的运用非常普遍，但是很多同学却不能很好地利用它，究其原因主要是因为考题中并没有直截了当的说明或者提示使用这个定理，另外根的判别式△=b2-4ac也有着很大的运用，但也是同学们失分点多的地方。很多同学明明知道这些定理，却不知道去运用，这也是很多同学再做其他题目时的常见问题，一看答案发现自己都明白，但是看题目却想不起来，这也是自己对于定理的理解不够深入的缘故。

下面我对一元二次方程的主要题型进行一些总结，不足之处还望各位同学及时指出，咱们共同进步。

一、抛物线与二次函数及不等式之间的关系

1、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1,2），

（1）若a=1,抛物线顶点为A,它与x轴交于B、C两点,,且△ABC为等边三角形,求b的值;

（2）若abc=4,且a≥b≥c,求|a|+|b|+|c|的最小值.

小张老师的解析：

首先我们只看题目就可以得到：a+b+c=2（把点（1,2）的坐标带入即可），而B、C的横坐标就是y=0时方程ax2+bx+c=0的两个根，那么这两根之和就是-b/a，两根之积就是c/a（韦达定理）。

第一问中a=1已知，那么b+c=1，这样就可以得到了b与c之间的关系，那么抛物线的表达式就可以完全用b表示，即y=x2+bx+1-b，此时我们从题目中可以看到ABC是一个等边三角形，这其实也是在告诉我们要利用三角形边长的关系，而我们可以知道A的纵坐标是可以和B、C的横坐标联系起来的，而且BC的长度也可以用其横坐标表示，同时BC是三角形的底边，A的纵坐标是三角形底边上的高，这样一系列的关系式就可以得到关于b的方程，这里假设B,C坐标分别为(x₁,0)和(x₂,0),那么BC的长就是|x₁-x₂|，在这里我们要特别注意：

|x₁-x₂|=√(x₁+x₂)2-4x₁x₂

这是一个非常重要的转换式，请同学们务必要记住，更好要学会灵活运用。而A的横坐标就是（x1+x2）/2=b/2，这样带入函数就知道了A的纵坐标，继而可以列出表达式求出b。

第二问有相当的难度，因为我们直接看题目并没有办法得到关于a，b，c三者之间的不等关系式，这也就要求我们必须构建新的表达式。

我们首先知道a+b+c=2，而且a≥b≥c，那么a肯定大于0，这样我们就确定a的大致的范围，而b，c的范围仍不能确定，这也告诉我们求解a的范围是我们解题的突破口，同时由于abc=4，我们可以得到bc=4/a，而b+c=2-a，因此我们构建一个以b，c为根的二次方程，即：x2-(2-a)x+4/a=0，这样我们可以利用△来求解，△=(2-a)2-16/a≥0，这样我们就可以得到a的范围为a≥4，这样再根据b，c的符号和a，b，c之间的关系来化简|a|+|b|+|c|就可以求出其最小值。（提示：二次方程中△是构建不等式的一个重要途径）