阴雨二人行，天不淋一人

之前我已经对一元二次的一些题型进行了归纳整理，今天我将重点讨论根的判别式△ =b²-4ac的应用，很多同学之前或许认为
判别式△ 只是用于判别二次方程是否有根，并没有其他用处，那你就错了，判别式△ 的应用远非于此，下面我就简单列举下它的应用。

目前常见的应用题型有：

（1）    根与系数之间的关系（也就是韦达定理）

（2）    与二次函数的结合应用

（3）    在代数式，方程组的求解和化简中的应用

（4）    与几何试题的结合应用

（5）    判定根的情况（这是最基本的运用，也别叫简单，我不做具体讨论）

下面我对前四个进行相关试题的讨论和分析：

一、根与系数之间的关系

1、 已知α、β是关于x的一元二次方程x²+(2m+3)x+m²=0的两个不相等的实数根，并且满足

1/α+1/β=-1，那么m的值为      。

【小张老师的解析】

我们很容易的可以根据韦达定理得到α+β=-(2m+3)，αβ=m²，这样根据1/α+1/β=-1可以得到

-(2m+3)/m²=-1，解出来m=3或-1；到这里为止很多同学已经觉得做好了，但是你肯定忘记了去利用判别式△ 来获得m的取值范围，进而做错题目，利用△求解m的范围比较简单，同学们自己动动手计算一下吧！

【参考答案】http://www.qiujieda.com/math/31328/

2、 已知关于x的方程x²-(k+1)x+1/4x²+1=0的两根是一个矩形两邻边的长。

（1）  k取何值时，方程存在两个实数根；

（2）  当矩形的对角线长为√5时，求k的值。

 【小张老师的解析】

第一问比较简单，就是利用△≥0求出k的范围即可；

第二问中我们需要假设矩形两边分别为a，b，那么a，b也分别就是方程的两个根，这样我们就是到a²+b²=5，在这里我们需要应用我在上一篇文章中提到的一个式子即：a²+b²=(a+b)²-2ab，这样

a+b和ab根据韦达定理很容易得到，就有可以求出k的值了，同样要注意的是k的值要满足第一问中的范围。

【参考答案】http://www.qiujieda.com/math/133272/

3、 已知x，y为实数，且(x-3)²+(y-3)²=6，求y/x的最大值。

【小张老师的解析】

解法1：我们可以假设y/x=t，这样y=tx，我们把这个式子带入原式就可以得到关于x的一元二次方程（t看成未知系数），这样我们利用△≥0就可以求出t的取值范围进而得到y/x的最大值。

解法2：我们可以把(x-3)²+(y-3)²=6看成是以（3,3）为圆心，√6为半径的圆，那么y/x就是圆上的一点（x，y）与原点（0,0）连线的斜率，所以根据图像只要求出最大斜率即可。

【相关习题】http://www.qiujieda.com/math/212825/

【经典习题推荐】

（1）      http://www.qiujieda.com/math/57266

（2）      http://www.qiujieda.com/math/24570

（3）      http://www.qiujieda.com/math/60731

（4）      http://www.qiujieda.com/math/52622/

二、与二次函数结合的应用

设m，n为正整数，且m≠-2，如果对于一切实数t，抛物线y=x²+(3-mt)x-3mt与x轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求m，n的值。

【小张老师的解析】

首先我们可以求出抛物线与x轴的两个交点坐标，分别为(mt,0)和(-3,0)，那么两个交点之间的距离就为|mt+3|，所以根据题意就可以得到|mt+3|≥|2t+n|，由于含绝对值的不等式不容易求解没我们可以对上式进行两边同时平方，可以得到一个关于t的二元一次不等式（m，n为未知系数且m≠-2可以得到二次项系数不为0），而由于是对一切t均成立，那么只需要△小于0即可。因此可以求出m，n的值，这里还需要一些解题技巧，希望同学们自己动手做做看！

    本题的关键就在于能否看出一个交点坐标是可以求出来的，同时要学会运用△，另外一些解题技巧也是必须的。

【参考答案】http://www.qiujieda.com/math/31247/

【经典习题推荐】

（1）  http://www.qiujieda.com/math/31250/

（2）      http://www.qiujieda.com/math/71371

三、在代数式，方程组的求解和化简中的应用

一元二次方程在代数，方程组等求解和化简得问题中也有着很大的应用，但是难点在于很多同学并不能将这些问题转化为一元二次方程的判别式问题来求解，下面我试着给出几个例子。

1、来个简单点的：设自然数n，使2⁸+2¹¹+2ⁿ为完全平方数。

【小张老师的解析】

按照以往的方法，我们可以利用配方法求出此题的答案，但现在我介绍另外一种方法。

我们可以假设x=2⁴，那么原式就化为x²+2⁷x+2ⁿ，要使上式为完全平方式，那么x²+2⁷x+2ⁿ=0肯定有两个相等的实数根，即△=0；这样我们既可以求出n=12,同学们可以动手自己做做，从中你可以学习到什么呢？这也告我们数学的各个知识点都是想通的，掌握其核心思想最重要。

【思考题】：

m为何值时，6x²-xy-2y²+my-6能分解成两个一次式，并进行因式分解。请利用的根的判别式思考下吧！答案过两天我会写在我的评论里，敬请关注！

2、求方程5x²+5y²+8xy+2y-2x+2=0的实数解。

【小张老师的解析】

首先我们可以将原方程整理为关于x的一元二次方程，然后利用△≥0即可，通过这些你发现了其中的一些思路和规律吗？

【思考题】

（1）  已知x,y,z为实数，且满足方程x+y+z=5和x²+y²+z²=9.求证：x，y，z都不小于1且

不大于7/3。

（2）  已知y=(x²-2x+4)/(x²-3x+3),求使y为整数时x的所有实数值。

这两道题目最好利用今天的方法求解，聪明的你开动下你脑筋吧，明天我会公布答案，答案公布在我空间的评论里！

【经典习题推荐】

（1）http://www.qiujieda.com/MATH/36310

（2）http://www.qiujieda.com/group/methods/4/4/【重要】

四、与几何试题的结合应用

1、已知a,b,c分别是△ABC的三边长,当m＞0时,关于x的一元二次方程

c(x²+m)+b(x²-m)-2ax√m=0有两个相等的实数根,试判断△ABC是直角三角形.

【小张老师的解析】

 要判断三角形是直角三角形，只需要证明三边符合勾股定理即可，那么我们也可以尝试根的判别式△，而这个方程有两个相等的实数根，也就是△=0，同学们自己动手算算看吧！

【参考答案】http://www.qiujieda.com/MATH/129670

2、如图四边形DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，求证四边形DEFG的面积不大于△ABC的面积S的一半。

【小张老师的解析】

这个题目或许你跟不不会想到利用根的判别式，的确这两者之间貌似没有什么关系，但是正如上文所言，数学是想通的，对于这道题你可以过A做AN⊥BC于N，交DG于M，那么四边形和三角形的高分别为MN和AN，底边为EF和BC，然后假设BC=a，EF=x，AN=h，MN=m，四边形的面积为y，那么根据△ADG与△ABC相似，我们可以得到上面四个参数之间的关系，即：m=h-xh/a，所以y=mx=x(h-xh/a)整理之后就是关于x的一元二次方程，只要是△≥0即可，这样就得到所求的结论了。

这貌似不相关的内容我们却联系上了，你不得不佩服这就是数学之美！！！

这个参考答案是常规的解法。

【经典习题推荐】

（1）  http://www.qiujieda.com/math/76024

 
   我所提供的所有题目希望大家能够利用今天多讲的方法做，这样可以有效地锻炼一下大家！