零儿铛铛

克拉克上课记

当代教育家研究院  陈洪杰

我听过很多的数学课。美国老师上的数学课，却是第一次听，何况是大名鼎鼎的“热血教师”罗恩·克拉克。

他的课堂会不会非常自由，纪律涣散；会不会强调讨论，尊重每一个学生的想法；会不会内容难度低，学生水平不高？带着种种猜测，我们迎来了罗恩·克拉克！

（一）课前：同样要拉近和学生的距离

在北京站，克拉克刚进休息室，就对工作人员说：我要和中国学生接触一下，和他们作个交流。看来老美也需要“课前谈话”啊！

20位中国学生来自北京21世纪国际学校。克拉克把孩子们聚拢在跟前，告诉孩子们在他课上要运用的一些手势、动作，还有那些配合肢体动作的搞怪“配音”。

只见克拉克时而双手往外推出作波浪状；时而侧身伸出手掌作扬帆状；时而在嘴边聚拢手掌作呼唤状；时而微微下蹲又站起，手掌向上，作唤醒状……与此同时，克拉克的嘴也没有停下来，配合动作发出搞怪的配音：“嗬—嗬—嗬”那是答题前一边做骑马的动作，一边给自己激励；“嚯—嚯—嚯”，那是答对题目后激动的庆贺；“磅昂—磅昂—磅”，那是表示把难题像火球一样丢掉；“啪—啪—啪”，那是表示题目“so easy”打起的响指——而“so easy”是要配合着动作唱出来的。

相较于克拉克和8位美国学生的示范动作，20位中国学生的动作是降了幅度的，发出的声音则降了分贝，站在外围的几个学生干脆微笑着，没有动作。尽管如此，克拉克依旧激情四射地演示，夸奖中国学生“做得好”。他环顾四周，关注每一个人。同时，克拉克也把有些动作的幅度故意做得大一些，声音、表情也故意夸张一些。克拉克的动作和配音，让中国学生纷纷笑起来，有几位学生互相对对眼，或许是交流共同的一些触动吧！总之，微笑是会传递的，因为微笑代表着善意、真诚和信任。微笑之后的沟通就顺畅许多，不少中国的学生也开始伸展自己，做起动作，发出声音来！

当克拉克结束他的课前热身，追问大家“OK？”中国学生纷纷微笑着回答“OK！”
 
（北京站，和21世纪学校的孩子们“课前谈话”，手舞足蹈。） 

（二）让数学知识带上感情色彩

学生们刚刚坐下，克拉克就拿起马克笔，在白板上“唰唰唰”地写下第一道题：
 

    克拉克没有让孩子马上开始计算，而是问孩子们“准备好了吗”，在得到肯定的答复后，克拉克和学生一起做起了仪式动作：侧向左边，拉动缰绳，伴随非洲鼓的节奏，齐喊——“嘿”！然后侧向右边，拉动缰绳——“嘿！”仿佛是印第安人要奔赴战场。左左右右各做几次之后，克拉克走到白板前。

“这道题，我们先解决哪一边？为什么？”克拉克问。

“先解决右边，因为左边有未知数，所以先从右边算起。”一位美国学生回答。

克拉克认可了学生的判断，但并未让学生马上计算，而是再次问孩子们“准备好了吗”，得到肯定的答复后，克拉克让大家想象手里有个火球，它在手里烧起来了（师生做手里有火球的动作），然后一起“磅—昂——”把它扔掉。

接下来进入正式的计算阶段。

“8×19是多少？”克拉克问。

“154，152。”有两个不同的答案。

尽管“154”的回答是极少数，但克拉克并没有忽视这个错误。

“8×10是多少？8×9是多少？”克拉克连续发问。

“80，72。”

“那80还差多少是100？”

此问一出，现场的中国教师都笑了。其实克拉克这样问都是为了让学生明白8×19的计算过程，80+72，用“凑整法”就是：80+20+52。

在现场的笑声中，一位中国女生Sunny小声地说出了答案：“20。”克拉克马上奔过去和她击了一下手掌，并说：“Sunny，我真喜欢你！”克拉克面向8个美国孩子，告诉大家：“这是Sunny回答的。”于是，伴着鼓声，美国孩子和克拉克一起做起了“wipe and down”（擦擦某人，拍拍肩膀，表示鼓励）的动作以示表扬。

克拉克也听到了大家的笑声，于是，在表扬的最后，克拉克将双手缩在胸前（这是鼓励动作的最后定格），像一只温顺的兔子，笑着对台下的老师们说：“表扬是件好事情啊！对吗？”——克拉克的眼神里透着一丝调皮！

在得到80+72=152后，克拉克和学生一起和着鼓声背起了口诀：“负负得正，正负得负。”然后，师生得到了正确答案：-152。

在开始解决（-3-3）/(1/3)之前，师生们又扔了一次“火球”。

“哦，哦，我‘丢’了3，‘丢’了3。”克拉克边说边作抹眼泪状，这语气和表情就像丢了300美金似的！“哦，哦，我又‘丢’了3，哦，哦！——我一共‘丢’了多少？”

在计算“-9+5”时，克拉克跑向美国学生：“你们这边是-9。”又转向中国学生：“你们那边是5。因为9比5大，9就可以吃到5。”接着，克拉克和美国学生做把东西拽回怀里的动作，一边拽一边学狮子的咆哮：“哇—啊—哇！”再转向中国学生：“那你们呢？——喵—喵—喵！”数字的一大一小，变成形象的一狮一猫！

克拉克带着全体学生做了两遍狮子的动作，然后做了一口吞下的动作：“最后答案是？”“-4。”“对！”

完成这几步，克拉克带着孩子们唱起了歌：“从一开始我们就很聪明，后面我们会越来越聪明！”此时，时间已经过了6分18秒。

接下来，孩子们分别得到了、3³等所有局部算式的答案。算式右边的下方出现了这些数字：3、-152、27、-18、-4。克拉克并未让学生马上计算，而是和孩子们唱起了“题目真简单”（It’s so easy）！

“现在，一起来看一下：3-152=-149，-149+27=-122。”孩子们每一次正确的回答都伴着鼓声。

“-122，我已经‘丢’了122美金，哦，哦，还要再‘丢’18，那是多少呢？”“-140。”“最后是多少？”“-144。”

终于，孩子们得到了右边的最终答案，师生一起摇摆起身体，唱起了歌：“我们抓住它了！”（We ge-ge-get it！）

当克拉克写下题目，现场的中国学生和中国教师无不瞪大了眼睛！原来，国外的计算题并不简单！克拉克的这道题，计算步骤在20步以上，涉及正负数、分数等多类数，涉及加减乘除、开多次方等不同层级的运算，难度不低！

克拉克的教学也可圈可点。写下题目后，他并没有让学生马上计算而是让学生先后做了两次准备动作：不管是“骑马”还是“扔火球”，都是让学生把注意力集中起来。“先解决哪一边”的追问也是很智慧的，因为小学生的解题习惯是从左往右，看到“+(3·-19)+2⁴+-N”，首先想到的是“”等于几，“(3·-19)”等于几，而不是去判断不等式的整体结构。克拉克的提问正是让学生从整体结构入手，引导学生先思后做，先整体后局部。

负数意味着减去，但对“-3-3”“-122-18”，克拉克故意用“丢”（lost）而不是“减”（minus），这样他就能给负数配上呜咽的声音和悲伤的表情。而对“-9+5”这样的正负数运算，克拉克又赋以形象的狮子和猫的动作。枯燥的数字，平常的计算，在克拉克那里被赋予了特别的形象和感情色彩，从而能更好地与学生的精神世界沟通。这或许就是克拉克的奶奶给他的智慧，药是苦的，撒点糖就更容易下咽。
 （给数学知识配上手势和鼓声——非洲鼓是数学课的必备道具。）

（三）把课堂的舞台还给学生

题目完成了一半，克拉克解下耳麦对学生Alec说：左边，我就留给你了！

在孩子们的歌声和非洲鼓的鼓点中，Alec走上了讲台，而克拉克则走到了学生旁边蹲了下来。——从这一刻起，克拉克变成了乖乖听课的学生。此时，白板上的题目是：+(3*-19)+2⁴+-N≥-144

在开始计算前，学生Alec，同样要大家一起扔“火球”：磅—昂——。

“我们第一步要算的是（-3·19）是多少，3·10是——，3·9是——，那么，那（-3·19）是多少？”

在完成这一步计算后，小老师和大家一起唱起了歌：“我们抓住它了！”

“，要怎么算？”小老师问。

“我们要找到一个数，它不停地自己乘自己，自己乘自己，乘了4次是81。”这位学生复述了开四次方的意思，但其实应该是“乘了3次”。

“我计算过了，这个数字是3。”另一位美国学生说。

接下来计算2⁴和，小老师会介绍一下算式的意思，学生们给出答案后，小老师会问“有不同意见吗”。而每一次得到正确的答案，都有短促的鼓声响起。

“3-57=？”小老师问。

“-54。”学生齐声回答。但这一次，小老师突然停了下来，有一两秒种，小老师纹丝不动，课堂陷入了一片寂静。发生什么了？

“好像有人有不同的答案？”小老师问。

“有同学说是-44，差了10。”学生Manny解答了小老师的疑惑。

“下次计算可要仔细一点哦！”小老师提醒大家。

接下来，分别计算了-54+16=-38，-38+15=-23。“我们要找到大的那个数，再算出它们的差。”学生一边解释，一边做狮子咆哮状，最后“大吃小”得到了结果。

此时，得到了简化的不等式：-23-N≥-144。“两边同时加上23,我们就得到了-N≥-121。”只差最后一步了，小老师并不急着推进，而是和一边打着“V”字的胜利手势，一边唱起了“耶耶耶”！

“还记得怎样把负号拿掉吗？”小老师话音刚落，学生唱起了规则：“就像打开一个圈，乘上一个数（-1），换一下方向，负号就拿掉。”

小老师写下答案：N≤121。

当克拉克把耳麦解下给学生戴上的时候，笔者又小小的担忧，小老师能把课上好吗？何况现场还有这么多中国的教师。但小老师的教学结束，我的疑惑释然了，我们仿佛看到了一个儿童版的罗恩·克拉克！新的疑惑又油然而生，所有学生都能这样吗？孩子们是怎么做到的呢？
 （小老师Alec，说话时身体的动作像是跳街舞。）

（四）课后点评：醉翁之意不在酒

Alec讲完，把目光投向克拉克。克拉克鼓着掌走到Alec身边：“能说说自己觉得做的好的地方和不好的地方吗？”克拉克引导学生做起了自我反思。

“我做的不好的地方是板书太乱了，会让人看不懂。做的好的地方是我把每一边的学生都顾及到了，我努力顾及到全部学生并和他们有交流。”小老师这样评价自己。

克拉克未做点评，而是问大家：“你们对这个小老师有什么看法？”学生纷纷点评。有的说“我喜欢他把课堂变得非常有意思，让我们学得开心”，有的说“你不仅跟美国学生有交流，和中国学生也有交流，这个做得好，但，是我只会给你打C+，因为你问问题的引导还不够”，有的说“复述的意思是没有意义的，你却没有指出来”，有的说“我非常喜欢的是你经常在微笑，跟我们有很多眼神沟通”……

听了大家的点评，克拉克只指出一点“我觉得没有必要在开四次方还是三次方这个地方为难中国学生，因为中国学生不一定听得懂。当学生不了解你的意思的时候，你偏要把一个东西塞给他们，他们是不能接受的。”

接着，克拉克现场调查：“你感到小老师看到了你，跟你有眼神交流的，请举手。”美国学生全部举手，中国学生坐前面的几位先举起了手，接着，后面的学生也纷纷举手。面对举手的情况，克拉克转过来对小老师说：“我非常欣赏你跟所有的学生都有交流，保持不断‘擦拭灰尘’的状态非常重要啊！”

本来以为点评就此结束，不料克拉克继续追问：“大家还有什么要说的？”

学生说，“小老师能顾虑到中国学生在语言上是否能跟上，所以在讲解的过程中讲得更加透彻，这点非常好”“小老师的双手60%的时间，都在腰部以上的，这一点很好”“小老师应该尽量少看黑板，因为你看了黑板就不看我们了，这会阻断我们之间的沟通”“在带领大家做课堂鼓励动作的时候，做的很好”……真没想到，再次点评，美国孩子还是意犹未尽。

接着，克拉克表扬了小老师对速度的控制，“在我们平时的课堂上，这道题会做得非常快，小老师在讲解的过程中，有意放慢了速度，速度控制很好”；又表扬了小老师的站姿，“小老师的双脚站姿非常完美，一直正对学生，从来没有侧对或背对学生来写板书，也没有因为一写板书，就不说话了”。最后，克拉克给小老师提出了建议：“我希望在解题之前，你能够先和大家融入在一起，可以先介绍一下自己的名字，并说‘很高兴和大家一起结题’。应该有暖场的阶段，但今天你直接就开始解题了！——除了这些，已经做得非常好了！”小老师注视着克拉克，在学生对小老师祝贺的欢呼和鼓声中，结束了点评。

克拉克曾经提到他在教学中会使用十条的技巧和方法：（1）保持活动状态；（2）双手位置保持在腰部以上；（3）与学生保持眼神交流；（4）微笑；（5）保持精力充沛；（6）远离黑板，融入到学生的空间中去；（7）用赞美和欢呼去激励学生参与；（8）不断的活动以让血液和氧气输送到大脑；（9）始终保持脚尖朝向学生，而不是背对他们；（10）每个动作都要迅速。

今天从克拉克学生的教学以及其他学生的点评看，无疑，克拉克的学生深得克拉克真传。

有现场观众问：是不是每个孩子都训练成小老师？克拉克如是说：“我们并不是要把每个学生都要锻炼成老师。但是，我们的确是要求每个学生能够站在讲台上，讲东西、教东西。因为，我们希望他们有沟通的能力。就算你很聪明，但是你不懂得如何去沟通的话，你的知识是没用的。所以，在我们学校，我们非常努力地带领学生去表达。因为，我希望我们的每个学生可以成为企业的领导，有领导的能力。”

看来，把学生推向讲台，克拉克的用意不限于学习具体的数学知识，而是关注了学生的综合能力：沟通与表达。
 （美国学生的点评很“辣手”，不留情面，而且都摆事实说明自己的观点）
 

（五）无声教学：另类的“教师主导”

接下来，克拉克展示了他的“无声教学”。

在背景音乐中，克拉克开始在掰板上写题目：□+□=， □+□=。又在当中画了正三角形，并把正三角形分成三层小正三角形，底层5个，中层3个，顶层1个。整个过程，克拉克以手势引导学生关注他。

接着，克拉克在小的正三角形中标上加号，在“□+□=”下面画线，表示把结果带入大的正三角形底部。至此，克拉克其实给出了计算题的运算框架：先算两组“□+□= ”的和，然后，利用得到的数据做进一步的运算。此时，虽然没有具体的数字，但克拉克画的图形却清楚地表示出运算的程序。
  
    然后，克拉克用手势和记号进一步解释计算过程，并在大正三角形的底部给出了一个数据：5。接下去怎么算？克拉克故意左右摇晃脑袋，显出迷惑的表情，并招手向学生发出进一步解释的邀请。
一位美国学生主动上来画箭头表示计算的第二步：第一层和5的和放入第二层。
 
    从画下第一个“□”到此时已经过了2分40秒，克拉克这才快速地在两组“□+□=”中写下数据：3+19=，20+49=。获得数据后，学生立刻埋头计算起来。30秒之后，有一位美国学生算好了，他站起来离开座位，去看其他同伴的解答。当同伴的解答是正确的时候，他就做起水草在水面下招摇的动作，唤起这位学生去看其他同伴的解答。一时间，几个学生像精灵一样，双手温柔地招摇着，在学生之间来去穿梭。

克拉克发现一位中国学生也已经解答完毕，就让她去“召唤”其他的学生。于是出现了这样一幕：克拉克在学生身后，扶着他一侧的肩膀，把学生往课堂的中心位置推。而这位中国学生却双手垂着，拢起肩膀，有点不知所措。

终于，有两位中国的学生也在学生中间穿梭起来。不同的是，美国学生边穿梭边做动作，手的位置都在胸前。而中国学生，更多的是垂手而立，做水草招摇的动作，手的位置多在腰部。

找答对的同伴，用动作进行正面评价的过程，花了1分半时间。最后，配合着动作核对答案，总共才用时30秒。

克拉克在课前如是说：“无声教学阶段，大家都不准用语言交流，我伴随着背景音乐来教课，也不用语言。学生们只要集中注意力在我身上，跟随我的带领就行了。不用语言交流，我发现学生们更加用心了，因为他们必须更加集中注意力才能跟上我的节奏。”

教学结束，克拉克做到了吗？做到了！可谓“不著一字，尽得风流。”

从数学教学的层面回味，出题的过程，不是先给数字，而是先给出计算结构，恰如克拉克追问学生“先计算不等式的哪一边”一样，都是让学生掌握题目的整体结构。题目是做不完的，但掌握了整体结构，却能让孩子建立起数学模型，看到变化中的不变，而这，正是重要的数学思想。

整个无声教学的时间分配也很有意思：给出计算框架图，1分钟；以手势明确计算步骤，50秒；给出一个数据让学生以动作演示计算步骤，40秒；计算答案，30秒；动作评价，1分半。这样的时间比例，在中国课堂上是不可想象的。在中国课堂上可能是这样的情景：PPT呈现题目，1秒；学生计算，30秒；PPT呈现答案，1秒；订正时间，30秒。

这样的课堂，中国教师能认可吗？在北京站现场，无声教学阶段刚结束，笔者就听到了身旁教师的议论：遇上高考怎么办？完不成教学任务怎么办？倒是现场一位中国学生对无声教学很推崇，当有老师问他对无声教学怎么看时，他回答道：“很多中国教师上课的时候‘巴拉巴拉巴拉’不知所云，但克拉克老师却能让我把注意力一直集中在他身上。”

需要注意的是，并非所有的材料都适合无声教学，肢体语言的限制，压缩了材料选择的范围，因此，克拉克选择的数学内容都有他直观的一面。而让学生理解教学过程和计算易错点是无声教学的关键。克拉克曾经说，“有时候为博学生开怀一笑，我愿意变成一个戏子。”而在无声教学中，每次克拉克提醒学生易错点的时候，他都把双手交叉在胸前，此刻，他变成了奥特曼！
 （提醒易错点，变身奥特曼！）

（六）几何题：思维，需要更高的要求

在无声教学后，克拉克又出了一道几何题。

克拉克在白板上画了一个正六边形，问学生：“计算一个正六边形的面积，需要几个数字？”
 一位美国学生上来说：“需要3个数字。”但他画图没有说清楚，在鼓声中，大家欢送他下去。

 一位中国学生主动上来：“需要3个数字。”这位学生把正六边形对半平分成两个梯形，然后画出梯形的高，指出需要的3个数据（下图左）：上底、下底和高。克拉克在图上以“★”标出数字的位置。当这位中国学生画图的时候是背对着学生的，克拉克扶着学生的肩膀往外掰，终于中国学生的站姿也符合克拉克的要求了。

克拉克又追问：“如果只要2个数字呢？”
    一位中国学生举手示意。克拉克兴奋地招呼：“来吧！”在问了他的名字后，克拉克带头为“浩洋”（音）同学唱起了鼓励的歌。这位同学把正六边形分成了6个小三角形（下图中），然后标注出需要的两个数字：底和高。不过，当中国学生画图的时候，他背对着下面的学生，克拉克再次把扶着学生的肩膀，把他的身体掰了过来！答案无疑是正确的，克拉克以掌声送学生回会自己的位置。

克拉克再次追问：“如果只要1个数字呢？”
    在几秒钟的寂静后，一位美国学生举起了手。她走到白板前，先调整了站姿，身体稍侧，面向大家，然后连接正六边形下面的一条对角线，画了箭头表示可以把下面的部分移到上面，把整个图形变成正方形（下图右）。（其实不是正方形，但在现场，我们都没发现）“这样，只需要1个数字了。”这位美国学生简短地说。
     
    计算完毕后，克拉克说：“就像大家看到的，与其给学生条件让学生算面积，不如让学生自己思考需要怎样的条件才能算面积。在我们的课堂上，我们经常会出一些这样的题目，用不一样的思维方式来锻炼学生。”

（七）课后互动：教学理念大碰撞

对克拉克的教学，拓宽了大家对课堂教学的想象力。大家也有很多的疑问，于是现场有了如下的互动。

有老师问中国学生：“克拉克上课的语速很快，你们能跟上吗？” “我觉得——不快，因为这种上法——很有趣，比起那种慢而又没有意思的教学——要好多了。”这位中国学生的语速非常缓慢，现场教师大笑。 “我原来在公立学校，公立学校的老师都讲的慢，到克拉克学院讲课就快了，但我们都能跟得上，因为克拉克上课有趣。上课有趣就能跟得上。”一位美国学生主动补充。

有老师问美国学生：“第一题比较难，第二题比较简单，第三题是开放题，你们理解为什么克拉克出这几道题吗？”“这是为了给我们比较全面的知识，也是为了给我们一些挑战，测试出我们学过的东西。”美国学生回答。克拉克主动补充：“在我们学校，教授知识有不同的方式。有时候只是一些简单的数学题，只要计算出来即可；有时是一些难题，需要团队讨论才行。其实，更多时候都是平常的那些题目，但我们会用很有意思的方式来做。”

有老师问中国学生：“如果你们的老师跳到桌子上，你怎么看？” “可能会有点不习惯，但如果老师跳到桌子上并没有什么坏处，而是会有积极的结果。”“如果我们的老师会这样，我们会尖叫的，太兴奋看到老师这样了，因为我们都喜欢做一些有挑战性的事。”两位中国学生都看好教师跳到桌子上！

这位老师又问美国学生：“你们学校其他老师也这么疯狂吗？”“每个老师表达激情的方式是不一样的，也许其他老师会有其他的方式。但是，在我们学校有一些标准是一样的，比如，所有老师都保持和学生的眼神交流，保持一定的肢体语言动作，都要面向学生。所以，每个老师都充满激情，但讲课的方式是不一样的。”美国学生的回答可谓滴水不漏！

有老师继续问美国学生：“你们最喜欢克拉克老师的什么地方？从克拉克老师身上学到了哪些有价值的东西？”有一半中国血统，中文名叫“黄思华”的Ava说：“我们每个人都是不一样的，所以喜欢他的地方和从他那里学到的东西也是不一样的。我本人觉得克拉克老师是一个充满激情的人，他爱我们，他把我们当成成年人来教，让我们明白我们作为成年人应该做些什么事情，这一点是非常了不起的。”而一直很喜欢发言的Manny补充道：“克拉克老师是我见过最富有激情、最富有创意的老师。我从来没有遇到一个老师上课可以跳到桌子上、跳到椅子上，他是唯一这么做的。他的课堂非常生动，之前也没有老师可以将课程编成歌，在课堂上唱饶舌音乐。我觉得这些都非常了不起！”

孩子们的回答得到现场教师的热烈掌声。

也有老师问克拉克：“我们的上课时间比较紧张，如何在一堂课内，将该讲的内容讲完，要讲多少内容是不是有一些标准？”

克拉克对这个问题非常感兴趣，他介绍了自己学校的上课节奏。“在我们学校，我们会讲一个词‘紧迫度’，要让教职工和学生明白每一秒钟都是非常值钱的。只要学生一到教室我们就立马开始上课，只要上完一堂课，学生会马上赶往另一个教室上另一堂课。所以，在我们学校我们不会让学生慢悠悠地去上课。我的奶奶经常跟我说‘走路慢的人，哪里都去不了’，在我们学校，我们教得很快，学生学得也很快。”“另外，如果课程很难，又很无聊，那么，学生是无法接受的。我们的课程很难，但是很有意思，孩子们每天都期待着上课，产生的结果就完全不一样了。”

最后，有老师问，可否请克拉克老师带着学生为大家表演一段舞蹈，伴随着非洲鼓的铿锵节奏，克拉克和学生唱起了歌，跳起了舞！不过，唱歌、跳舞的内容您绝对想不到：乘法口诀表！

（回答现场教师提问时，学生个个都能说，和中国学生形成鲜明对比。） 

克拉克的现场教学结束了，但他上课的诸多细节一直在我脑海里激荡。没想到美国五年级的算术内容这么难，没想到课堂节奏这么快，没想到美国学生的表达这么好，没想到组织教学可以不用说一句话，没想到中国学生对这位“另类”教学很喜欢……总之，没想到克拉克和他的数学课如此不一样！但细细咀嚼，“没想到”的背后却是克拉克一贯的追求：激情的课堂，有趣的形式，严格的要求，充分的信任和大胆的放手。而这些，及其背后的教育信念，正是我们可以向克拉克学习的地方。