零儿铛铛

当下，数学被结结实实地捆绑在考试工具箱中。它的应用能力极其有限。成为应试工具后的数学教学日益丧失其开发思维的作用。在所有的中小学科目中，数学的改革是最艰巨的。

当下，数学被结结实实地捆绑在考试工具箱中。它的应用能力极其有限。成为应试工具后的数学教学日益丧失其开发思维的作用。在所有的中小学科目中，数学的改革是最艰巨的。

我所能想象到的数学教育的功能不外三项：应用所学的数学知识，开发思维能力，选拔人才的重要工具。我打算在三个方向上比较中美两国的数学教育。两国的数学教育即使不是处在两个极端上，至少也可以说是两种典型。希望两国间的差距可以激发我们的思考。

中美两国数学教育差异

人们的通常印象是，中国学生的数学能力好，美国学生的数学能力差。总体而言这种看法是不错的，两个材料可以证实。

其一是PISA的数据。经济合作与发展组织从2000年开始进行“国际学生评估项目”（简称PISA）。目的是测评各国学生在完成和即将完成义务教育时（即15岁的学生），在阅读、数学、科学方面的能力。2009年PISA扩大到65个国家和地区，包括上海市。统计结果是，各国学生数学平均分488。上海学生的数学平均600分，高居榜首。美国学生的数学平均分487，低于各国平均分，低于亚洲多数国家。

其二是美国TELT课题组对美国23名教师（被认为高于平均水平）数学水平的测定。其中一个题目是1/3/4÷1/2，“算法正确，答案完整”的只有9人（占43%），“算法正确，答案不完整”2人（9%），“不完整的算法，不确定、不完整的答案”4人（19%），“模糊地回忆算法，没有答案”5人（24%），“错误的方法，没有答案”1人（5%）。（引自马立平，1999，55）两个材料合起来，可以反映出美国学校数学教育的水平和学生数学的能力。

美国中小学的数学教育长期以来在美国国内受到批评。但因目睹中国数学教育的现状，我看待美国的数学教育远比美国人宽容。我以为，处在两个极端上的中美数学教育互见短长，我们的问题甚至更严重。

美国的数学教育的特征是分化，它牺牲了多数学生的数学能力，却并未牺牲尖子的数学能力。美国教育的习惯是，发现一个学生数学能力优异，便将他从班级抽调出来开小灶，不委屈他的才能，也免得他精力过剩数学课堂上干扰其他同学。

中国数学教育的特征是，通过高强度的复习提升了中低潜力学生的数学能力，并因全体同学都裹挟在这之中而牺牲了潜力优异学生的发展。我称中国中小学教育的后果为“扁平化”，中下层提升，上层下压。

中美两相比较，我以为中国的损失更大。我们损失的是数学尖子。美国损失的是多数人的数学能力。而数学知识的应用情况是，小学所学的数学知识足以满足多数人日后的工作和生活。美国没有丢掉数学尖子，多数人工作生活无碍于低下的数学能力，处于二者中间的科技人员可能数学能力有所欠缺，这是其真实损失。中国的损失一方面是扼杀个性的教育必然扼杀了数学尖子，另一方面是大多数学生在学校和家长的双重压力下，为学习日后没有用场的数学支付了大量时间和精力。上海学生在PISA测试中高居榜首，说明中国学生在此一方向上已步入极端。而我们的数学教育的专家不愿正视这一事实与问题。

数学能开发思维吗

应用所学的数学知识并不复杂，不能成为数学教育的根据。当我们认同这一判断后，数学教育所以必要（无论是应该的，还是现实的）的支点就落在了开发思维和筛选人才上面。而这之中存在着两个问题。其一，数学教育能否开发思维、如何开发思维，都不是自明之理，是需要论证和思考的。其二，开发思维与筛选人才是冲突的。我们逐一讨论。

弗赖登塔尔的睿智与诚实不仅反映在他看待数学知识的应用上，而且反映在他看待数学开发思维的作用上。他说：

人们相信，数学是智力的磨刀石。……是否存在思维的训练？数学是否是其中的一种甚至是最好的一种？对于这些含糊的问题人们很难回答。现在所用的各种测试方法不说明什么问题，它只能在局部范围内反映教学效果，至今为止，我们还缺少跟踪学习的全过程的方法。自古以来教育家对此问题经常给以肯定的答复，我怀疑也可能有许多怀疑论者会给以无条件的否定。因为无人能证明一个好的数学家在其他科学领域中必然会有很高的成就，也不知道数学天才是否必然具备一般天才所有的特征。同样也无法使人相信，数学家的超人智力完全是由数学所决定的，因为谁也不知道，如果数学家不学数学而去学其他东西，又会有什么样的结果。（弗赖登塔尔，1973，76，78）

其实弗赖登塔尔并未否定数学开发思维的可能性，而开放、怀疑的态度是深入探索、寻找微妙关系的前提。弗赖登塔尔讲述数学传统的时候，甚至还说过更消极的话：

他们（古巴比伦学生的父辈和老师——笔者注）也许回答道：学生之所以要及早学习数学，是因为数学是智力的磨刀石；或者干脆说：其他课程甚至比数学更无用。（同上书，2）

这话看似寻常，其实颇有意味。关键在于“其他课程甚至比数学更无用”。其逻辑是：能够不要教育吗？不能；那么找到有用的科目更好，用途小的也聊胜于无。这是对教育的保守的、防卫性的辩护。保守主义一方面倾向大致维护现状，另一方面不主张在教育的实施中过分积极。而中国今日的教育受害于积极的教育观。教育是有用的，但教育的具体用途在落实上是很难辩护的。消极的辩护，支持的是自然、适度的教育。

哲学就是明白学。深入反思数学教育的用途可以让我们减少盲目。我们明白数学是不可取缔的，它不是最无用。我们还明白的是普及教育中，数学学得越深，应用的比重越小。那么能否完成论证，留给数学教育的努力空间就是开发思维了。对此持怀疑态度要比坚信的态度好。反正不可取缔，疑惑开发思维的心理会促进思考怎么办。坚信观的行为导向则可能是以为怎么教都能帮助思维。无疑，前一态度反倒更积极了。

分饼：做出来的数学

弗赖登塔尔认为：

学一个活动的最好方法是做。……通过再创造获得的知识与能力要比以被动方式获得者，理解得更好也更容易保持。（同上书，103，108，110）

弗赖登塔尔在另一本书中具体阐述，如何在教学中实施“再创造”和“做出来的数学”：

如果可能的话，将她放到具体的、形象的情境中去，让她直观地学习，这是我的教学原则。我从来不向她解释任何东西，也不归纳任何法则，同时也不要求她归纳法则。当我以为她还在直观地、有洞察力地做的时候，然而她已经算出了那道题，为了使算法过程明显，我在题目中夸大了数据，只有当我确信她知道了答案时，我才问“为什么”。（弗赖登塔尔，1994，78）

美籍华裔数学教授蔡金法为我们提供了中美学生的如下对比：

7个女孩平分2个比萨饼，3个男孩平分1个比萨饼。每个女孩和每个男孩，谁分到的更多？

调查显示，超过90%的中国学生使用了如下的常规策略：每个男孩分得1/3个比萨饼，而每个女孩将分得2/7个比萨饼。将这两个分数通分（1/3=7/21，2/7=6/21，7/21-6/21=1/21）或是把它们都转化为小数（1/3=0.33，2/7=0.29，0.33-0.29=0.04），就可知道1/3大于2/7。

调查显示，只有大约20%的美国学生使用了这种常规策略。相反，绝大多数的美国学生使用了如下的非常规策略中的一种。

解法1：三个女孩分一个比萨饼，另外三个女孩分另一个比萨饼。这六个女孩中的每个女孩都与三个男孩中的每个男孩分得同样多的比萨饼。但是有一个女孩没有分得比萨饼。所以，每个男孩分得的比萨饼更多。

解法2：三个女孩分一个比萨饼，剩下的四个女孩分一个比萨饼。剩下的四个女孩每人分得的比萨饼要少于每个男孩分得的比萨饼。所以男孩分得的比萨饼更多。

解法3：7个女孩有2个比萨饼，3个男孩有1个比萨饼。女孩所拥有的比萨饼是男孩所拥有的比萨饼的2倍。但女孩的人数却不止男孩人数的2倍，所以男孩分得的比萨饼更多。

解法4：每个比萨饼被分成4块。每个女孩分得1块，还剩余1块。每个男孩分得1块，也还剩余1块。剩下的1块必须由7个女孩再次来分，而另外剩下的1块只需要3个男孩再次来分，所以男孩分得的比萨饼更多。

如果面对考试，中国学生是不会吃亏的。但是我们很难认为，他们的思考能力更强。他们是照搬一个思路，不必思考也便无从锻炼思维的灵活性。作为群体，他们的思路是单一的。在面对复杂问题时，单一思路的群体是较难走出困境的。

走进数学的每一步都有过自己的摸索，这样在更大程度上增长的是能力，而不是知识。我们有理由认为，前者比后者同思维有着更深的关联。并且在日后的智力生活中，能力的移植要远比知识的移植来得便利。这样的教学法需要一些条件，比如小规模的教学。这远不是严酷的挑战，最严酷的挑战是时下考核与应试的博弈方式。侍奉考试的数学教学中的一个利器是见识尽可能多的“题型”。当学生殚精竭虑掌握了大量的题型，便可以以记忆代替思维了。

其实，即使学生在“再创造型教学”中对某道题目的思考是错误的，也不要紧，毕竟做出了独立的思考；它至少帮助学生抵抗丢弃独立思考的病症。教师需要深入探讨的是学生思路之优劣及其思考轨迹，而不是答案之对错。

数学与选拔考试

考试是数学教育的另一功能，这是所有数学教育家无法回避、必须承认的事实。并且作为考试的一个科目，数学还有着其他科目所没有的威信和优势。弗赖登塔尔说：

数学作为智力才能的选择工具，比其他学科甚至比智力测验更可信，而且也容易操作。为此，在各个领域内部都将数学作为一个筛选工具，不仅对自然科学、技术、医学教育的学生要通过这个考验，甚至对大多数人文学科的学生也有一定的数学要求。我们能否由此推出，数学教育的目的就是在数学教育的基础上挑选学生？或者说，数学教育的目的就是考试？虽然我们从感情上反对这个结论，但是数学被高度评价为一种选择工具却是事实。作为教育家我们拒绝接受以选择作为教育的目的，而作为数学家却相信，数学能用于这个目的真是太好了。（弗赖登塔尔，1973，78，79）

起源古老，内容难易度差距宽阔，特别是拥有难度极高的题目，都增加了其神秘性。但解答数学难题的能力是否普世能力，是有待论证的。可无论如何，当下，数学被结结实实地捆绑在考试工具箱中。它的应用能力极其有限。成为应试工具后的数学教学日益丧失其开发思维的作用。在所有的中小学科目中，数学的改革是最艰巨的。它本身是分流的好工具。而当下，数学教育的正常化，只好期待中学阶段分流的早日完成。好的数学教育必须是各取所需、过程高于结果的。