初三数学 四边形（三）【正方形】

个人日记

12题 如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.

⑴求证：①DE=DG；

②DE⊥DG；

⑵尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；

⑶连接⑵中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；

⑷当时，衣直接写出的值.

答案

 解：⑴证明：∵ 四边形是正方形  ，∴，°.

又∵，∴⊿≌⊿.∴，.又∵,∴,∴.

⑵如图2（注：图3或其它画法正确的相应给分）

     

⑶四边形是平行四边形.

证明：设相交于点.

∵四边形和四边形都是正方形，∴AB∥CD, AB=CD, EF=DG, EF∥DG,

∵BK=AG, ∴KG=AB=CD, ∴四边形为平行四边形. ∴CK=DG=EF, CK∥DG..

∴.∴∴CK∥EF,

∴四边形是平行四边形.

(注：由CK∥DG, EF∥DG得CK∥EF也可)

⑷.




 9题  正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．

（1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；

（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．

答案

解：（1）如图1所示：

 

（2）如图2，连接AE，

则∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∴∠EAP=∠BAP=20°，

∴∠EAD=130°，

∴∠ADF==25°；

 

（3）如图3，连接AE、BF、BD，

由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，

∠ABF=∠AEF=∠ADF，

∴∠BFD=∠BAD=90°，

∴BF2+FD2=BD2，

∴EF2+FD2=2AB2．

 



10题 如图，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”．他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图2、图3、图4)，其他条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”的结论．

你同意小明的观点吗？若同意，请结合图1－4加以证明；若不同意，请说明理由．

答案

解:同意.

方法一:

证明:如图(略)①,延长AE交BC的延长线于点G.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD//BC, ∴∠D=∠ECG,

∵E为DC的中点, ∴DE=EC,

又∵∠DEA=∠CEG, ∴△ADE≌△GCE(ASA)

∴AE=GE, ∠DAE=∠G

∵∠FAE=∠DAE, ∴∠FAE=∠G.

∴FA=FG.

∴EF⊥AE

方法二:

证明: 如图②,在AF上截取AG=AD,连接EG、GC.

∵∠FAE=∠EAD,AE=AE, ∴△AEG≌△AED(SAS).

∴DE=GE, ∠AGE=∠D, ∠1=∠2.

∵点E是DC的中点，∴EC=DE, ∴EC=GE.

∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD//BC, ∴∠BCD+∠D=180°.

∵∠EGF+∠AGE=180°, ∴∠BCD=∠EGF

∵EG=EC, ∴∠EGC=∠ECG. ∴∠FGC=∠FCG. ∴GF=FC.

又∵EF=EF, ∴△GEF≌△CEF(SSS)

∴∠3=∠4.

∴∠AEF=∠2+∠3=(∠1+∠2+∠3+∠4)=×180°=90°.

∴EF⊥AE



 2题 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　　．

答案

﹣1        解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，

过点M作MF⊥DC于点F，

∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，

∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，

∴∠FMD=30°，

∴FD=MD=，

∴FM=DM×cos30°=，

∴MC==，

∴A′C=MC﹣MA′=﹣1．

故答案为：﹣1．


 




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